Asi como se pueden hacer operaciones con números, los vectores también tienen operaciones fundamentales. Una de ellas es la multiplicación de un vector por un número real.

Multiplicacion por un escalar.

A los números ahora les llamaremos escalares, y a esta operación la llamaremos multiplicación de un vector por un escalar.

Podemos entender la multiplicación de un vector por un escalar como estirar ese vector en cierta cantidad y direccion. Al multiplicar un vector por un escalar positivo, el vector se estira en la misma dirección que ya tiene, mientras que si el escalar es negativo, el vector se estira en dirección opuesta.

Ahora, ¿cómo se representa esto algebraicamente? Para multiplicar un escalar por un vector, simplemente multiplicamos el escalar por cada una de las componentes del vector, de esta manera:

$n \cdot \vec{v} = n \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n \cdot x \\ n \cdot y \end{bmatrix}$

Por ejemplo, si tenemos el vector $\vec{v}$, donde $\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ y lo multiplicamos por el escalar $2$, entonces obtenemos:

$2 \cdot \vec{v} = 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$

Donde el vector resultante apunta en la misma direccion que ya tenia, pero ahora es el doble de “largo” (más adelante explicaré el por qué). De igual manera manera, si multiplicamos el vector $\vec{v}$ por -2, entonces obtenemos:

$-2 \cdot \vec{v} = -2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \cdot 1 \\ -2 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix}$

Y ahora el vector resultante tambien es el doble de “largo”, pero apunta en dirección opuesta a la que tenia el vector inicial.

En este caso cuando hablo de dirección me refiero a “hacia donde apunta” ese vector, recordemos que los vectores siempre siguen la dirección hacia donde apuntan, es decir, hacia donde se extienden, yendo desde el origen hasta el punto donde terminan.

Como afecta la longitud.

Un aspecto muy importante que me gustaria resaltar es que la multiplicación de un vector por un escalar tiene el efecto de multiplicar la longitud original del vector por ese mismo número.

Nota: A la longitud de un vector se le llama su magnitud, se simboliza como $|| \vec{v} ||$, y es la distancia desde el origen hasta la punta del vector. Pero veremos ese tema en otra leccion mas adelante.

En otras palabras, si tenemos un vector $\vec{v}$ de longitud $m$, es decir $|| \vec{v} || = m$, la nueva longitud después de escalar el vector será $m \cdot n = || n \cdot \vec{v} || = n \cdot || \vec{v} || = n \cdot m$. Por ejemplo, si tenemos un vector $\vec{v}$ de longitud 3, y lo multiplicamos por el escalar 2, entonces la longitud del vector resultante será $2 \cdot 3 = 6$.

Por ejemplo, el vector $\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ tiene magnitud 5 ( $|| \vec{v} || = 5$ ), y lo multiplicamos por el escalar 1.5, entonces obtenemos el vector

El cual tiene magnitud 7.5, es decir, 1.5 veces la longitud original. A continuacion veremos las propiedades y algunas consecuencias de poder multiplicar un vector por un escalar.

Propiedades de la multiplicacion por escalar

• $1 \cdot \vec{A} = \vec{A}$
• $r \cdot (s \cdot \vec{A}) = (rs) \cdot \vec{A}$
• $r \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = r \cdot \vec{A} + r \cdot \vec{B}$
• $(r + s) \cdot \vec{A} = r \cdot \vec{A} + s \cdot \vec{A}$

Recta y rayos generados.

Recta generada por un vector.

Como vimos anteriormente, multiplicar un vector por un escalar tiene el efecto de estirar ese vector. Ahora, si le damos a nuestro escalar $n$ la libertad de tomar el valor de cualquier numero real, entonces obtenemos una recta. Esta recta se le llama la recta generada por $\vec{v}$, se simboliza $L_{\vec{v}}$, y es el conjunto de todos los multiplos escalares de nuestro vector $\vec{v}$, es decir, el conjunto de todos los vectores resultantes de multiplicar $\vec{v}$ por cualquier numero real.

$L_{\vec{v}} = \{ \; \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \; : \; n \cdot \vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \; n \in \mathbb{R} \; \}$

Rayos generados

Ahora, si limitamos los valores de $n$ solo a números positivos, obtenemos el rayo positivo de $\vec{v}$, se simboliza con $R_{\vec{v}}^{+}$ y es el conjunto de todos los vectores resultantes de multiplicar $\vec{v}$ por un escalar positivo.

• Además, podemos darnos cuenta de que el rayo positivo de $\vec{v}$ es una “recta” que sigue la misma dirección que $\vec{v}$. Esto tiene sentido, ya que al escalar $\vec{v}$ por un número positivo obtenemos otro vector que está estirado en la misma dirección. Por lo tanto, el conjunto de puntos forma una semirrecta que se extiende infinitamente en la misma dirección que $\vec{v}$.

$R_{\vec{v}}^{+} = \{\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} : n \cdot \vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, n > 0 \}$

De igual manera, si restringimos los valores de $n$ solo a numeros negativos obtenemos el rayo negativo de $\vec{v}$, se simboliza con $R_{\vec{v}}^{-}$ y es el conjunto de vectores resultantes forma una recta que se extiende en la dirección opuesta a la del vector $\vec{v}$

$R_{\vec{v}}^{-} = \{\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} : n \cdot \vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, n < 0 \}$

El concepto de recta generada por un vector tiene implicaciones importantes en el tema que veremos a continuación.

$1.5 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 \cdot 3 \\ 1.5 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4.5 \\ 6 \end{bmatrix} \overset{Donde}{\rightarrow} || \begin{bmatrix} 4.5 \\ 6 \end{bmatrix} || = 7.5 = 1.5 \cdot || \vec{v} ||$

Dependencia e Independencia lineal

Dependencia lineal

Ya sabemos que al escalar un vector obtenemos otro vector estirado, si al vector resultante le llamamos $\vec{B}$ y al vector original le llamamos $\vec{A}$, es decir, $n \cdot \vec{A} = \vec{B}$, entonces podemos decir que $\vec{B}$ es un múltiplo escalar de $\vec{A}$, donde $n$ es el escalar que multiplicamos por $\vec{A}$ para obtener a $\vec{B}$.

Cuando un vector es un multiplo escalar de otro, se dice que son linealmente dependientes, y cuando no son linealmente dependientes decimos que son linealmente independientes.

Por ejemplo: los vectores $\vec{B} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ y $\vec{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ son linealmente dependientes, ya que $2 \cdot \vec{A} = \vec{B}$, es decir $\vec{B}$ es un multiplo escalar de $\vec{A}$.

También notamos que el concepto de dependencia lineal implica que ambos vectores se encuentran en la misma recta generada, pero ¿por qué tiene sentido esto? Dado que uno de los vectores es simplemente una versión escalada o estirada del otro, entonces está en la recta generada del vector inicial. A su vez, la recta generada de cualquier vector y sus múltiplos escalares es la misma. Por lo tanto, están en la misma recta generada, lo cual significa tambien que ambos vectores son multiplos escalares del otro.

Si dos vectores son linealmente dependientes, entonces $n \cdot \vec{A} = \vec{B}$, pero al mismo tiempo $r \cdot \vec{B} = \vec{A}$, por lo tanto $\vec{A}$ está en la recta generada por $\vec{B}$, y al mismo tiempo $\vec{B}$ está en la recta generada por $\vec{A}$, ya que es la misma recta.

Producto cruzado

Ahora bien, ¿cómo podemos determinar algebraicamente si dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son linealmente dependientes? es decir, si uno es un multiplo escalar del otro?. Una forma sería encontrar un número $n$ que cumpla que $n \cdot \vec{A} = \vec{B}$, pero existe un método más rápido y sencillo, y partiendo de esto, llegamos a la definición del producto cruzado:

El producto cruzado entre dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ ( se simboliza $\vec{A}$ $\times$ $\vec{B}$ ) es una operación que se realiza entre dos vectores y nos da como resultado un numero, el cual nos dice si los vectores son linealmente dependientes o no.

Se calcula multiplicando en cruz y restando de esta manera:

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$

Ahora, como vimos, ese resultado de realizar la operacion del producto cruzado $a \cdot d - b \cdot c$ nos da un numero, si el valor del producto cruzado es 0 entonces los vectores son linealmente dependientes, y si es distinto de cero ( $\neq 0$ ) entonces son linealmente independientes

Sean $\vec{A} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ y $\vec{B} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$ vectores del plano. $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son linealmente dependientes si y sólo si su producto cruzado es igual a cero: $a \cdot d - b \cdot c = 0$

Por ejemplo en nuestro caso, el producto cruzado entre $\vec{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ y $\vec{B} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$ es $1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$, por lo tanto $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son linealmente dependientes.

De igual manera, dos vectores son linealmente independientes si el producto cruzado entre ellos es distinto de cero, es decir, no existe ningún $n$ que satisfaga $n \cdot \vec{A} = \vec{B}$, es decir $\vec{B}$ no es un múltiplo escalar de $\vec{A}$ ni viceversa.

Ahora, si por alguna razon ya sabemos que los vectores son linealmente dependientes y queremos encontrar ese $n$ que satisface $n \cdot \vec{A} = \vec{B}$, simplemente planteamos una ecuacion con las componentes de los vectores:

• Como que escalar un vector implica multiplicar el escalar por cada una de sus componentes, entonces podemos expresar “esto” como “esto”, y si encontramos ese $n$, entonces los vectores son linealmente dependientes, sino, son linealmente independientes.

Nota: en $\mathbb{R}^{2}$ el producto cruzado se calcula de esta manera, pero mas adelante nos daremos cuenta que realmente tiene muchos otros significados mas complejos, por lo tanto en esta leccion explico el producto cruzado de manera superficial y presentando su utilidad en el caso de dependencia lineal

Suma de vectores.

Ahora que ya sabemos multiplicar un vector por un escalar, podemos pasar a la siguiente operacion fundamental con vectores, la cual es la suma de vectores.

Como se hace algebraicamente

La suma de vectores se realiza sumando componente por componente, es decir, sumamos la componente x de los vectores y la componentes y de los vectores por separado.

Por ejemplo, si tenemos los vectores $\vec{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ y $\vec{B} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$, entonces la suma de $\vec{A}$ y $\vec{B}$ es:

$\vec{A} + \vec{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 3 \\ 2 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$

Dibujamos el nuevo vector

Como se ve graficamente?

Visualmente, la podemos entender como tomar el segundo vector y colocar su cola en la punta del primero, de manera que el inicio del segundo vector sea la punta del primer vector. Luego, si dibujas un nuevo vector desde la cola del primero hasta donde ahora se encuentra la punta del segundo, ese nuevo vector es la suma de ambos.

Me gustaria dar una explicacion de porque esto tiene sentido: la suma de vectores se puede entender como una extensión de la suma de números en una recta numérica. Por ejemplo, “3 + 2 = 5” significa dar 3 pasos a la derecha y luego 2 pasos mas hacia la derecha, hasta llegar al 5.

De la misma manera, la suma de vectores se puede pensar como la combinación de dos caminos. Por ejemplo, el vector $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ representa un camino que avanza 1 paso a la derecha y 2 pasos hacia arriba. El vector $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ representa un camino que avanza 3 pasos a la derecha y 4 pasos hacia arriba.

La suma de estos dos vectores significa seguir primero el primer camino y luego el segundo. En otras palabras, significa avanzar 1 paso a la derecha, luego 2 pasos hacia arriba, y luego 3 pasos a la derecha y 4 pasos hacia arriba. También se puede pensar como avanzar 4 pasos a la derecha y 6 pasos hacia arriba, o visto de otra manera, dar “1 + 3 = 4” pasos a la derecha y luego “2 + 4 = 6” pasos hacia arriba, para llegar al punto $\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$. Tambien demostramos instantaneamente que la suma de vectores es conmutativa ( $\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$ )

Propiedades de la suma de vectores

• $\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$
• $(\vec{A} + \vec{B}) + Z = \vec{A} + (\vec{B} + Z)$
• $\vec{A} + O = \vec{A} = O + \vec{A}$

Resta de vectores

Al igual que podemos restar numeros reales, tambien podemos hacerlo con vectores notemos que $4 - 3$ es lo mismo que $4 + (-3)$, y este concepto o idea tambien se aplica a los vectores, un caso especial de un múltiplo escalar es $-1 \cdot \vec{v}$, que se escribe $\vec{-v}$ y se llama negativo de $\vec{v}$. Puede usársele para definir la resta vectorial: la diferencia de $\vec{A}$ y $\vec{B}$ es el vector $\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + -1 \cdot \vec{B}$

La rests de vectores se realiza restando componente por componente, es decir, sumamos la restamos x de los vectores y la componentes y de los vectores por separado.

$\vec{A} - \vec{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 3 \\ 2 - 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}$

Ahora, los damos cuenta que la resta realmente es una suma, y podemos extender lo que sabemos de la suma a la resta, Visualmente es interesante, podemos verlo como voltear la direccion del vector original y sumarlos.

$\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-1 \cdot \vec{B})$

Propiedades de la resta de vectores

• $\vec{A} - \vec{A} = 0$
• $\vec{A} - \vec{B} \neq \vec{B} - \vec{A}$

Regla del paralelogramo.

Propiedades del producto cruz