Combinaciones lineales

Descomposición de un vector en sus canónicos Combinaciones lineales, span of vectors, hallar escalares, cuando es posible y la excepción

Que es una combinación lineal?

Una combinación lineal es una suma de vectores multiplicados por escalares.

Por ejemplo, si tenemos los vectores A = (1, 2) y B = (3, 4), entonces la combinación lineal de A y B es nA + mB, donde n y m son escalares.

Por ejemplo, si n = 2 y m = 3, entonces la combinación lineal de A y B es 2A + 3B = 2(1, 2) + 3(3, 4) = (2, 4) + (9, 12) = (11, 16).

Dibujamos el nuevo vector

Vectores canonicos

Los vectores canónicos son vectores que tienen una componente igual a 1 y las demás componentes igual a 0.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, los vectores canónicos son el vector i = (1, 0) y el vector j = (0, 1).

Descomposición canónica

La descomposición canónica de un vector es una combinación lineal de vectores canónicos que da como resultado el vector original.

Por ejemplo, si tenemos el vector A = (1, 2), entonces la descomposición canónica de A es A = 1(1, 0) + 2(0, 1) = 1i + 2j.

Combinaciones lineales de vectores canónicos

Si tenemos dos vectores canónicos, entonces cualquier combinación lineal de ellos es un vector.

Por ejemplo, si tenemos los vectores canónicos i = (1, 0) y j = (0, 1), entonces cualquier combinación lineal de ellos es un vector, por ejemplo, 2i + 3j = 2(1, 0) + 3(0, 1) = (2, 0) + (0, 3) = (2, 3).

Combinaciones lineales de vectores

Si tenemos dos vectores, entonces cualquier combinación lineal de ellos es un vector.

Por ejemplo, si tenemos los vectores A = (1, 2) y B = (3, 4), entonces cualquier combinación lineal de ellos es un vector, por ejemplo, 2A + 3B = 2(1, 2) + 3(3, 4) = (2, 4) + (9, 12) = (11, 16).

Span de vectores

El span de un conjunto de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de esos vectores.

Por ejemplo, si tenemos los vectores A = (1, 2) y B = (3, 4), entonces el span de A y B es el conjunto de todas las combinaciones lineales de A y B, es decir, el span de A y B es el conjunto de todos los vectores de la forma nA + mB, donde n y m son escalares.

Hallar escalares, cuando es posible y la excepción

Si tenemos dos vectores, entonces cualquier vector que esté en el span de esos dos vectores se puede escribir como una combinación lineal de esos dos vectores.

Por ejemplo, si tenemos los vectores A = (1, 2) y B = (3, 4), entonces cualquier vector que esté en el span de A y B se puede escribir como una combinación lineal de A y B, por ejemplo, el vector (11, 16) está en el span de A y B, ya que 2A + 3B = 2(1, 2) + 3(3, 4) = (2, 4) + (9, 12) = (11, 16).

Ahora bien, si tenemos dos vectores, entonces cualquier vector que esté en el span de esos dos vectores se puede escribir como una combinación lineal de esos dos vectores, pero no siempre es posible encontrar los escalares que satisfagan esa combinación lineal.

Por ejemplo, si tenemos los vectores A = (1, 2) y B = (3, 4), entonces cualquier vector que esté en el span de A y B se puede escribir como una combinación lineal de A y B, pero no siempre es posible encontrar los escalares que satisfagan esa combinación lineal, por ejemplo, el vector (1, 1) está en el span de A y B, pero no es posible encontrar los escalares que satisfagan la combinación lineal 2A + 3B = (1, 1).